Kaip apskaičiuoti tūrį?

Figūros tūris – tai matas, rodantis, kiek trimatės erdvės užima figūra. Figūros tūrį taip pat galima įsivaizduoti kaip vandens (oro, smėlio ir pan.) kiekį, kurį figūra galėtų sutalpinti, jei būtų visiškai užpildyta. Įprasti tūrio matavimo vienetai yra kubiniai centimetrai (cm³), kubiniai metrai (m³). Čia sužinosite, kaip apskaičiuoti šešių skirtingų trimačių formų, kurios dažnai sutinkamos matematikos testuose, įskaitant kubus, sferas ir kūgius, tūrį.

Kubo tūrio skaičiavimas

1. Kubo tūrio formulę. Kadangi visų kubo kraštinių ilgiai yra vienodi, kubo tūrio formulė yra labai paprasta. Ji yra V = a³, kur V reiškia tūrį, o a – kubo kraštinių ilgį.

Norėdami rasti s³, tiesiog tris kartus padauginkite s iš savęs: s³ = s * s * s

2. Raskite vienos kubo kraštinės ilgį. Priklausomai nuo užduoties, vienos kraštinės ilgis jau gali būti nurodytas arba jums gali tekti išmatuoti kraštinės ilgį liniuote. Kadangi tai kubas, visų kraštinių ilgiai turėtų būti vienodi, todėl nesvarbu, kurią kraštinę išmatuosite.
3. Įstatykite kraštinės ilgį į formulę V = a³ ir apskaičiuokite. Pavyzdžiui, jei nustatėte, kad kubo kraštinių ilgis yra 5 cm, formulę užrašykite taip:

V = (5 cm)³;

V = 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm³

Stačiakampio gretasienio tūrio skaičiavimas

1. Stačiakampio gretasienio tūrio formulė. Stačiakampio gretasienio formos kietasis kūnas yra trimatė figūra, kurios visos šešios plokštumos yra sudarytos iš stačiakampių. Stačiakampio gretasienio formos kietojo kūno tūrio formulė yra Tūris = ilgis * plotis * aukštis, arba V = a*b*c.
2. Raskite stačiakampės figūros ilgį. Ilgis yra ilgiausia stačiakampio kūno kraštinė, kuri yra lygiagreti žemei arba paviršiui, ant kurio jis guli. Ilgis gali būti nurodytas uždavinyje arba gali tekti jį išmatuoti liniuote.

Pavyzdys: Šio stačiakampio ilgis yra 4 cm, taigi b = 4 cm.

Per daug nesijaudinkite dėl to, kuri kraštinė yra ilgis, kuri plotis ir pan. Svarbiausia surasti trijų kraštinių matmenis, o juos įstačius į formules atsakymą visada gausite vienodą, nepriklausomai nuo to, kokia tvarka įrašysite kraštinių ilgių skaitines reikšmes.

3. Raskite stačiakampio kūno plotį. Stačiakampio formos kūno plotis – tai trumpesnės kūno pusės, lygiagrečios su žeme ar paviršiumi, ant kurio guli figūra, matmuo. Vėlgi ilgis gali būti nurodytas uždavinyje arba gali tekti jį išmatuoti liniuote.

Pavyzdys: Šio stačiakampio formos kūno plotis yra 3 cm, taigi a = 3 cm.

4. Raskite stačiakampio kūno aukštį. Šis aukštis – tai atstumas nuo žemės arba paviršiaus, ant kurio stovi stačiakampis kūnas, iki stačiakampio kūno viršaus. Aukštis taip pat gali būti nurodytas uždavinyje arba gali tekti jį išmatuoti liniuote.

Pavyzdys: Šio stačiakampio kūno aukštis yra 6 cm, taigi a = 6 cm.

5. Įstatykite stačiakampio formos kūno matmenis į tūrio V = a*b*c formulę ir apskaičiuokite.

Mūsų pavyzdyje a = 3, b = 4, o c = 6. Todėl:

V = 3 cm * 4 cm * 6 cm;

V = 72 cm³

Cilindro tūrio skaičiavimas

1. Cilindras yra trimatė figūra, turinti du vienodus plokščius apskritimo formos galus ir vieną juos jungiančią išlenktą sienelę.
2. Cilindro tūrio formulė yra: V = πr2h, kur V – tūris, r – apskritimo pagrindo spindulys, h – aukštis, o π – konstanta pi.

Kai kuriuose geometrijos uždaviniuose atsakymas bus pateikiamas išreikštas π, tačiau daugeliu atvejų pakanka suapvalinti π iki 3,14. Pasitarkite su dėstytoju ir išsiaiškinkite, kuris variantas yra tinkamas.

3. Raskite pagrindo spindulį. Jei jis nurodytas uždavinyje, tiesiog naudokite šį skaičių. Jei vietoj spindulio nurodytas skersmuo, norint gauti spindulį, tereikia skersmenį padalinti iš 2 (d = 2r).
4. Išmatuokite objektą, jei spindulys nenurodytas. Atminkite, kad tiksliai išmatuoti apskritą kūną gali būti šiek tiek sudėtinga. Viena iš galimybių – išmatuoti cilindro pagrindą skersai viršaus liniuote. Pasistenkite išmatuoti cilindro plotį plačiausioje jo dalyje ir, norėdami sužinoti spindulį, padalykite šį matavimą iš 2.

Kita galimybė – matuoti cilindro apskritimą (atstumą aplink cilindrą) naudojant matavimo juostą arba virvės ilgį, kurį galite pažymėti ir išmatuoti liniuote. Tada į formulę įrašykite matavimą: C (apskritimas) = 2πr. Apskritimą padalykite iš 2π (2*3,14 = 6,28) ir gausite spindulį.

Pavyzdžiui, jei išmatuotas perimetras buvo 8 cm, spindulys bus 1,27 cm.

Jei jums reikia tikrai tikslaus matavimo, galite naudoti abu metodus, kad įsitikintumėte, jog jūsų matavimai yra panašūs. Jei ne, patikrinkite juos dar kartą. Apskritimo metodas paprastai duoda tikslesnius rezultatus.

5. Apskaičiuokite apskrito pagrindo plotą. Į formulę πr² įrašykite pagrindo spindulį. Tada spindulio reikšme pakelkite kvadratu, o paskui sandaugą padauginkite iš π.

Pavyzdys: Jei apskritimo spindulys lygus 4 cm, pagrindo plotas bus A = π4².

4² = 4 * 4 = 16;

 16 * π (3,14) = 50,24 cm²

6. Nustatykite cilindro aukštį: tai tiesiog atstumas tarp dviejų apskritų pagrindų arba atstumas nuo paviršiaus, ant kurio guli cilindras, iki jo viršaus. Aukštis taip pat gali būti nurodytas uždavinyje arba gali tekti jį išmatuoti liniuote.
7. Norėdami sužinoti tūrį, padauginkite pagrindo plotą iš cilindro aukščio. Arba galite sutaupyti vieną žingsnį ir tiesiog įrašyti cilindro matmenų vertes į formulę V = πr² Mūsų pavyzdžio cilindro, kurio spindulys 4 cm, o aukštis 10 cm:

V = π4²*10

π4² = 50.24

50.24 * 10 = 502.4

V = 502.4 cm³

Taisyklingos kvadratinės piramidės tūrio skaičiavimas

1. Piramidė – tai trimatė figūra, kurios pagrindas yra daugiakampio formos, o šoninės kraštinės susiaurėja ties viršūne (piramidės tašku). Taisyklinga piramidė – tai piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingo daugiakampio formos, t. y. visos daugiakampio kraštinės yra vienodo ilgio ir visi kampai yra vienodo dydžio.
2. Piramidės tūrio formulė. Taisyklingosios piramidės tūrio formulė yra V = 1/3bh, kur b yra piramidės pagrindo (daugiakampio apačioje) plotas, o h yra piramidės aukštis arba vertikalus atstumas nuo pagrindo iki viršūnės (taško).
3. Apskaičiuokite pagrindo plotą. Formulė priklauso nuo piramidės pagrindo kraštinių skaičiaus. Mūsų diagramoje pavaizduotos piramidės pagrindas yra kvadratas, kurio kraštinės yra 6 cm ilgio. Prisiminkite, kad kvadrato ploto formulė yra A = s², kur s yra kraštinių ilgis. Taigi šios piramidės pagrindo plotas yra (6 cm)², arba 36 cm².

Trikampio ploto formulė yra tokia: A = 1/2bh, kur b – trikampio pagrindas, o h – aukštis.

4. Raskite piramidės aukštį. Daugeliu atvejų tai bus nurodyta uždavinyje. Mūsų pavyzdyje piramidės aukštis yra 10 cm.
5. Piramidės pagrindo plotą padauginkite iš jos aukščio ir padalykite iš 3, kad sužinotumėte tūrį. Prisiminkite, kad tūrio formulė yra V = 1/3bh. Mūsų pavyzdžio piramidės, kurios pagrindo plotas 36, o aukštis 10, tūris yra: (36 * 10 * 1/3, o tai yra lygu 120).

Kūgio tūrio skaičiavimas

1. Kūgis – tai trimatis kietasis kūnas, turintis apskritą pagrindą ir vieną viršūnę (kūgio tašką).

Jei kūgio viršūnė yra tiesiai virš apskrito pagrindo centro, kūgis vadinamas dešiniąja piramide. Jei ji nėra tiesiai virš centro, kūgis vadinamas „įstrižuoju kūgiu”. Laimei, kūgio ploto apskaičiavimo formulė yra ta pati, nesvarbu, ar jis yra dešinysis, ar įstrižasis.

2. Kūgio tūrio apskaičiavimo formulė: V = 1/3πr²h, kur r – kūgio apskrito pagrindo spindulys, h – kūgio aukštis, o π – konstanta pi, kurią galima suapvalinti iki 3,14.

Formulės dalis πr² reiškia kūgio apskrito pagrindo plotą. Taigi kūgio tūrio formulė yra 1/3bh, kaip ir piramidės tūrio formulė, pateikta aukščiau pateiktame metode.

3. Apskaičiuokite kūgio apskrito pagrindo plotą. Tam reikia žinoti pagrindo spindulį, kuris turėtų būti nurodytas uždavinyje. Jei vietoj to jums nurodytas apskrito pagrindo skersmuo, tiesiog padalinkite šį skaičių iš 2, nes skersmuo yra tiesiog 2 kartus didesnis už spindulį (d = 2r). Tada į formulę A = πr² įrašykite spindulį ir apskaičiuokite plotą.

Diagramoje pateiktame pavyzdyje kūgio apskrito pagrindo spindulys yra 3 cm. Įstatę jį į formulę, gausime: A = π3².

A = 3 * 3 * π;

A = 9π;

A= 9 * 3,14;

A = 28,26 cm²

4. Raskite kūgio aukštį. Tai vertikalus atstumas tarp kūgio pagrindo ir jo viršūnės. Mūsų pavyzdyje kūgio aukštis yra 5 cm.
5. Kūgio aukštį padauginkite iš pagrindo ploto. Mūsų pavyzdyje pagrindo plotas yra 28,26 cm², o aukštis – 5 cm., taigi bh = 28,26 * 5 = 141,3 cm².
6. Dabar rezultatą padauginkite iš 1/3 (arba tiesiog padalykite iš 3) ir sužinokite kūgio tūrį. Atlikdami šį veiksmą iš tikrųjų apskaičiavome cilindro tūrį, kuris susidarytų, jei kūgio sienelės tęstųsi tiesiai į viršų iki kito apskritimo, o ne būtų pasvirusios į vieną tašką. Padaliję iš 3, gausime tik paties kūgio tūrį.

Mūsų pavyzdyje 141,35 * 1/3 = 47,12 cm² – kūgio tūris.

Sferos tūrio skaičiavimas

1. Sfera yra tobulai apvalus trimatis objektas, kurio kiekvienas paviršiaus taškas yra vienodai nutolęs nuo centro. Kitaip tariant, sfera yra rutulio formos objektas.
2. Sferos tūrio formulė yra V = 4/3πr³, kur r yra sferos spindulys, o π – konstanta pi – 3,14.
3. Raskite rutulio spindulį. Spindulys gali būti nurodytas uždavinyje. Jei nurodytas skersmuo, norint rasti spindulį, šį skaičių reikia padalyti iš 2. Pavyzdžiui, diagramoje pavaizduotos sferos spindulys yra 3 cm.
4. Išmatuokite rutulį, jei spindulys nenurodytas. Jei reikia išmatuoti sferinį objektą (pvz., teniso kamuoliuką), kad nustatytumėte spindulį, pirmiausia suraskite pakankamai didelį virvės gabalą, kad juo būtų galima apvynioti objektą. Tada apvyniokite virvę aplink objektą plačiausioje jo vietoje ir pažymėkite taškus, kuriuose virvė persidengia. Tada išmatuokite virvelę liniuote, kad nustatytumėte apskritimą. Padalykite šią vertę iš 2π, t. y. 6,28, ir gausite rutulio spindulį.

Pavyzdžiui, jei išmatuosite rutulį ir nustatysite, kad jo perimetras yra 18 cm, padalinkite šį skaičių iš 6,28 ir sužinosite, kad jo spindulys yra 2,87 cm.

Išmatuoti sferinį daiktą gali būti šiek tiek sudėtinga, todėl galite atlikti 3 skirtingus matavimus, o tada juos išvesti vidurkį (sudėti tris matavimus ir padalyti iš 3), kad įsitikintumėte, jog gavote kuo tikslesnę vertę.

Pavyzdžiui, jei jūsų trys perimetro matavimai buvo 18 cm, 17,75 cm ir 18,2 cm, šias tris vertes sudėtumėte (18 + 17,5 + 18,2 = 53,95) ir padalytumėte iš 3 (53,95/3 = 17,98). Šią vidutinę vertę naudokite apskaičiuodami tūrį.

5. Spindulį padalykite iš kubo ir raskite r³. Skaičiaus kėlimas laipsniu paprasčiausiai reiškia, kad skaičius padauginamas iš savęs 3 kartus, taigi r³ = r * r * r. Mūsų pavyzdyje r = 3, taigi r³ = 3 * 3 * 3, o tai yra lygu 27.
6. Dabar padauginkite atsakymą iš 4/3. Galite naudoti skaičiuotuvą arba dauginti ranka ir supaprastinti trupmeną. Mūsų pavyzdyje 27 padauginus iš 4/3 = 108/3, arba 36.
7. Rezultatą padauginkite iš π ir sužinokite rutulio tūrį. Paskutinis žingsnis apskaičiuojant tūrį yra tiesiog padauginti iki šiol gautą rezultatą iš π. Daugeliui matematikos uždavinių paprastai pakanka suapvalinti π iki dviejų skaitmenų (nebent būtų nurodyta kitaip), taigi padauginkite iš 3,14 ir gausite atsakymą.

Mūsų pavyzdyje 36 * 3,14 = 113,09 cm³